三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生:如何作三角形内切椭圆，必须三个切点为三边中点（答复阿祥的留言）

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这个问题是阿祥在我2021年3月30日《 过椭圆上一点作切线》这篇文章的留言中向我提出的三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。留言中另一位ttdonkey也给出了一种很好的思路，其实他的思路是对的。当时我在写其他文章，没有顾得上就这个问题进行深入研究。感谢阿祥和ttdonkey两位热心的朋友。我这两天却突然发现了两种解决方法。今天全都介绍给广大读者。本文发送之后我会从微信转发给阿祥；ttdonkey仍然关注本号，希望他或她能点开阅读。

阿祥的原问题：已知一三角形，求做椭圆，与三角形的三边切于中点（只要作出椭圆的两个焦点即可）三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

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上图即为一个三角形ABC，三边中点分别为D、E、F，椭圆内切于三角形ABC，且切点分别是三边中点D、E、F三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。那么，上图中红色的椭圆是怎么作出来的呢？我下面将给出两种作这个椭圆的方法。

第一种方法：姑且称之为平行射影法三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。假设符合要求的三角形及其内切于三边中点的椭圆已作出(下图右图)。那么整个图形一定是某个正三角形及其内切圆(左图)的平行射影(正像窗格在阳光照射下在地面上投影，是一种伤射变换)。不妨假设这个正三角形A′B′C′的边长A′B′与AB相等，如下图所示。其中左图为原像，右图为像。（有些类似斜二测画法。若下图右图中CF与AB成45º角，CF长度为C′F′的一半，则像就是原像的直观图。）

平行投影把直线投影成直线，把线段中成比例的两段投影成同一比例的两段(尽管可能长度都改变了)，于是，三角形的中心投影后仍然是中心三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。圆投影成椭圆，圆与直线的相切点投影后仍然是相切点。三角形内切圆的圆心投影后是三角形内切椭圆的中心。所以，三角形内切椭圆的中心就很容易地确定下来：它位于三角形的中心处。椭圆中心一旦确定，再由于 平行投影不改变水平尺度，所以原像中圆的水平直径P′Q′=像的水平直径PQ。原像中的竖直直径投影到像的FG。从而 PQ与FG共轭。

找到椭圆的两条共轭直径是解决本问题的关键三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生！

好的，我们以前某讲中讲过已知椭圆两条共轭直径如何作椭圆的方法三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。那篇文章的链接在第一种方法后，第二种方法前。下面就具体给出作图步骤，这样作图正确的理由也在下面的链接中有具体讲解。

如上图所示，在两条共轭直径PQ和FG所夹的钝角∠POG内，作OH垂直且等于OP三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。连接HG。取HG中点M。连接OM。以点M为圆心，以OM为半径作圆，与直线HG交于J和K两点。作射线OJ，把它当成x轴正向；作射线OK，把它当成y轴正向。在Ox上取OL=KG，在Oy上取ON=JG。以OL为长半轴a，以ON为短半轴b，以O为中心，作椭圆。那么，这个椭圆就是我们所要求作的椭圆。（理论依据在下面的链接文章中有详细讲述。）

阿祥的问题中讲“只要做出椭圆的两个焦点即可”三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。我这里已经先找到了x轴和y轴，且又知晓a和b，画出了椭圆，所以半焦距c也就可作出，焦点也就确定了，见下图(已去掉了作图过程，只留下三角形，椭圆，x轴、y轴，OL和ON)。然后以点N为圆心以OL为半径作圆弧，在x轴上截得两点，即为两个焦点F₁和F₂。

链接：《已知两条共轭半径三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，作椭圆 》

第二种方法：射影几何学方法三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。这个方法极为简洁。理论依据也是以前讲过的，具体参见《已知椭圆上的五个点，求作这个椭圆》（链接在本方法之后）。如果已知椭圆上的五个点，那么我们是可以确定且作出过这五个点的唯一椭圆。下图中，三角形ABC三边中点D、E、F是所要作椭圆的三个切点，可以当成五点中的三点。另外，中线CF靠近顶点C的三等分点G一定在所作椭圆上，同理点S也在椭圆上。这样就有了五点D、G、E、S、F。为了后面讲述方便，我们给它们重新取名：1,2,3,4,5。

（1）作出直线“12”和“45”及它们的交点X（这里两直线正好平行，所以交点为无穷远点X∞）三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

（2）过点“5”作一动直线“5T”，我们一会儿要在“5T”上确定一点“6”三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。六个点1、2、3、4、5、6构成一个椭圆内接六边形，根据帕斯卡定理，六边形三组对边交点共线。而我这里是反用帕斯卡定理。

（3）作直线“23”和“5T”及它们的交点Y三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

（4）过点Y作“12”的平行线YX ∞三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

（5）作直线“34”三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。“34”与YX ∞交于点Z。

(6) 连接点“1”和Z，得直线“1Z”，它与“5T”交于点“6”三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。那么点“6”一定位于椭圆之上。

（7）让直线“5T”绕点“5”转动，则点“6”就描绘出椭圆三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

这种方法既然是射影几何学方法，那么就不太关注焦点三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。好在我的第一种方法是可以作出焦点的。

链接：《已知椭圆上的五个点三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，求作这个椭圆 》

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