初中数学等腰三角形5大典例分:三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生

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模型一：向两边作垂线得距离相等

如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；

模型二：角的两边取等线段构全等

如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；

模型三：角平分线加垂线得三线合一

如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题；

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模型四：角平分线遇见平行线得等腰三角形

如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.

【典例1】如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.

证法一：如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.

∵BD平分∠ABC

∴ DM=DN

又∵ AD=CD

∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）

∴∠NAD=∠C

∵∠BAD＋∠NAD=180°

∴∠BAD＋∠C=180°.

证法二：如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）

∴∠A=∠BED, AD=ED

∵AD=CD

∴ED=CD

∴∠C=∠DEC

∴ ∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.

证法三：如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，延长BA到E，使BE=BC,连接ED. 可证△BDE≌△BDC（SAS）

∴∠E=∠C三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生， ED=CD.

∵AD=CD

∴ AD=ED.

∴ ∠E=∠DAE三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，∠C=∠DAE，

∴ ∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.

【典例2】如下图三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.

思路分析：注意到BD平分∠ABC三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，CE⊥BE，

这种情况完全和第三种模型吻合三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，于是延长CE、BA相交于F，如下图，

则易证△BEF≌△BEC（ASA）

∴ EF=CE ∴ CE=EF=1/2CF.

∵ CE⊥BE

∴ ∠1=90°∠F. 同理 ∠3=90°∠F

∴∠1= ∠3 又∵AB=AC ∠BAD=∠CAF

∴ △ABD≌△ACF(ASA)

∴BD=CF

∴ CE=1/2BD.

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