三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生:考点梳理 | 数学：相似三角形应用​之“路灯问题”

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相似三角形是初中几何的难点所在，相似三角形与全等三角形的不一样之处在于，有些题目很难找出三角形三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。相似三角形的应用较多，常见的有：路灯问题（中心投影）、树影问题（平行投影）、内接四边形问题、动点问题、摆放问题等等，本篇主要介绍路灯相关问题。

路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是从一个点发出来的，光源和物体所处的位置及方向影响物体的影长三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。平行投影的光线是平行的，中心投影的光线是交于同一点，过影子的顶端与物体的顶端的直线交于光源处。在解决路灯问题时，通常会借助多次相似，抓住人的身高与路灯的高度不变来解题。

1.相似三角形的性质

①对应边的比相等三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

②相似三角形的周长比等于相似比三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

③相似三角形的面积比等于相似比的平方三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

④相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

2.相似三角形的应用

①利用三角形相似，可以证明角相等；线段成正比（或等积式）三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

②利用三角形相似，求线段的长等三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

③利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体长度三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

3.典型例题

例题1：如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点G处再测得自己的影长GH=4cm，如果小明的身高为1.6m，GF=2m三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。你能求出路灯杆AB的高度吗？

分析：根据相似三角形的判定得出△ABF∽△CDF，那么可以得到CD：AB=FD：FB，由△ABH∽△MGH可以得到MG：AB=HG：HB，由于人的身高与路灯的高度不变，可以得到FD：FB=HG：HB，带入数据先求出线段BD的长度，然后再求AB的高度三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

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解：由题意可得：△ABF∽△CDF三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，△ABH∽△MGH

故AB/CD=BF/DF三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，AB/MG=BH/GH

∵DF=3m三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，GH=4m，MG=CD=1.6m，GF=2m

∴BF/DF=BH/GH

∴4×(BD+3)=3×(BD+3+2+4)

解得BD=15m

∴AB=(15+3)×1.6/3=9.6m

例题2：如图，小明晚上在路灯下散步，已知小明的身高AB=h，灯柱的高OP=O'P'=n，两灯柱之间的距离OO'=m三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

（1）若小明距离灯柱OP的水平距离OA=a，求他的影子AC的长三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

（2）若小明在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值？请讲明理由三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

分析：（1）根据AB//OP可以得到△ABC∽△OPC，然后可以得到比例式AC：OC＝AB：OP，然后代入数据即可得到结论；（2）利用相似三角形的性质分别表示出线段AD与AC的长度，然后求解，也可以连接PP'借助X型模型进行解题三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生。

解：（1）由题意可得AB//OP

∴△ABC∽△OPC

∵AC：OC＝AB：OP三角围墙忌倒形，前宽后尖意外生，OP=n，AB=h，OA=a

∴AC×n=h×(a+AC)

解得AC=ah/(nh)

（2）由（1）可得AC=h·OA/(nh)

同理可得DA=h·O'A/(nh)

∴DA+AC=(nh)·h/(OA+O'A)=hm/(nh)

∴DA+AC为定值

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